Géologie structurale
MODULE 2
La contrainte et la déformation (stress and strain)

Objectifs spécifiques
  • Expliquer les notions et comprendre les relations entre forces, contraintes et déformation.
  • Être capable de quantifier la déformation à l'aide de marqueurs déformés sur un échantillon ou un affleurement.
  • Être capable de calculer la contrainte en un point sur un plan.
  • Être capable de calculer la contrainte normale et tangentielle sur un plan par la méthode mathématique et graphique (diagramme de Mohr).
  • Appliquer les notions théoriques de la rupture des corps rocheux (le cercle de Mohr) au comportement des roches dans une situation de déformation donnée.

    		•

    Théorie
    2.1 L'analyse cinématique - Déformation passive et déformation (strain)
    2.2 La théorie de la déformation
    2.3 La quantification de la déformation
    2.4 L'analyse dynamique - Notions de force et de contrainte (stress)


    Lexique
    Vocabulaire de la contrainte et de la déformation


    Exercices courts
    La contrainte et la déformation
         		Exercices pratiques
    La théorie de la déformation
    La quantification de la déformation


    Questions à travailler chez-soi
    La contrainte et la déformation


    Répertoire des photos
    Photos

    2.1 L'analyse cinématique - Déformation passive et déformation (strain)
    2.1.1 Définition de la déformation
    On dira qu'un corps est déformé s'il y a eu variation de la forme, des dimensions et/ou de la localisation dans l'espace de ce corps d'un état initial à un état final.

    Une déformation par translation sera caractérisée par un changement de localisation d'un objet dans l'espace sans variation de la forme ni des dimensions de l'objet. Une déformation par rotation sera caractérisée par un changement de localisation d'un corps dans l'espace spécifiquement par rotation autour d'un axe sans variation de la forme ni des dimensions de l'objet. Par exemple lorsqu'on lance une balle ou une pierre au curling, celles-ci subissent une translation et une rotation. Les déformations par translation et par rotation sont dites rigides car le corps déformé n'a pas subi de changement de forme.

    Une déformation par distortion sera caractérisée par un changement de forme d'un objet accompagné ou non d'une variation de la localisation de cet objet dans l'espace, comme par exemple une voiture accidentée. Si la dimension de l'objet augmente, on dira alors qu'il y a eu dilatation positive de l'objet et au contraire une dilatation négative signifiera une diminution de la dimension de l'objet. Le gonflement d'un ballon est un exemple de déformation par dilatation positive. Les déformations par distortion ou par dilatation sont des déformations dites internes car la forme du corps déformé changement de l'état initial à l'état final.

    Vous trouverez d'excellentes figures illustrant la déformation par rotation, translation, distortion et dilatation sur la page Deformation defined du site internet Visualizing Stress and Strain, de N. E. Reish et Dr. G. H. Girty, San Diego State University Department of Geological Sciences.

    Cliquez sur le lien suivant pour accéder à ces figures:
    Deformation defined

    2.2 La théorie de la déformation
    2.2.1 Déformation homogène et hétérogène
    Il existe plusieurs types de situations de déformation homogène soient la déformation pure plane, le cisaillement pur et le cisaillement simple. On dira qu'une déformation sera homogène, si les conditions énoncées ci-dessous sont respectées. Pour tous les autres cas, on dira que la déformation sera hétérogène.

    Pour les deux exemples de la figure 1, on peut dire que l'objet, ici le carré unitaire blanc, a subi une déformation homogène car les deux conditions énoncées précédemment sont respectées.


    Figure 1


    La déformation finie est généralement représentée graphiquement par le changement de forme d'un cercle hypothétique de rayon unitaire ou d'un carré de dimension unitaire (fig. 2). Après une déformation homogène, le cercle prendra l'allure d'une ellipse (une sphère et un ellipsoïde si on travaille en 3D). L'axe long et l'axe court, soient les axes principaux de cette ellipse, correspondent aux axes principaux de la déformation (S1 et S2).

    Bien souvent, les objets géologiques se déformeront de façon hétérogène, i.e. les conditions de la déformation homogène ne seront pas respectées. Dans l'exemple suivant, les droites de l'objet non-déformé ne sont plus des droites après déformation et les droites originellement parallèles dans l'objet non-déformé ne sont pas tout à fait parallèles les unes aux autres après déformation.


    Figure 2 Déformation hétérogène.


    2.2.2 Cisaillement pur (aplatissement) et cisaillement simple
    Pour un cisaillement pur progressif, sous l'effet de la déformation, le carré initial devient un rectangle. Les axes principaux de la déformation, i.e. S1 et S2 de l'ellipse de la déformation, ne subissent aucune rotation d'un état de déformation à l'autre. On parle ainsi de déformation non rotationnelle. Dans ce cas, pour chacune des déformations infinitésimales, les axes principaux de la déformation auront la même orientation et on dira que l'accumulation de la déformation se fera de façon coaxiale, i.e. toujours selon le même axe (figure 2). Un cas particulier de déformation par cisaillement pur est la déformation pure plane, où l'axe intermédiaire de la déformation reste inchangée d'un état de déformation à l'autre.


    Figure 3: Cisaillement pur (déformation coaxiale)


    Cliquez sur les liens suivants pour accéder à des animations du professeur R. Holcombe (School of Physical Sciences - Earth Sciences, University of Queesland, Australia) sur la déformation progressive par cisaillement pur:

    Pure shear flow showing point displacements©

    Pure shear flow showing changes in orientation and length of lines©


    Pour une déformation en cisaillement simple, , puisque la contrainte principale est oblique aux côtés du carré (figures 3 et 4), le carré initial se déforme en un parallélogramme dont les côtés s'allongent progressivement pour une déformation croissante mais dont les surfaces inférieures et supérieures ne se déforment pas, bien que la surface supérieure change de position dans l'espace. L'accumulation de la déformation se fait de façon non coaxiale car les axes principaux de la déformation changent d'orientation d'un état de déformation à l'autre. Aussi, deux droites originalement perpendiculaires avant la déformation, ne resteront pas perpendiculaires dans l'état déformé. On dira alors que la déformation est rotationnelle.


    Figure 4: Déformation par cisaillement simple


    Cliquez sur les liens suivants pour accéder à des animations du professeur R. Holcombe (School of Physical Sciences - Earth Sciences, University of Queesland, Australia) sur la déformation progressive par cisaillement simple:

    Simple shear flow showing point displacement and ISA©

    Simple shear flow showing changes in orientation and length of lines©


    Lorsqu'on superpose l'état initial d'un cercle non déformé à son état final déformé, soit l'ellipse de la déformation, il est possible de tracer deux lignes de longueur unitaire, et dont leur longueur initiale est égale à leur longueur finale, passant par le centre du cercle et de l'ellipse. Ces lignes correspondent à des lignes sans déformation finie qui ne subissent pas d'allongement ni de raccourcissement. Ces lignes séparent deux champs de déformation de l'ellipse soit le champ de raccourcissement et le champ d'allongement (figure 4).


    Figure 5: Lignes sans déformation finie (lsdf) et champs d'allongement (A) et de raccourcissement (R).


    2.2.3 Les équations de la déformation

    Plusieurs paramètres permettent de caractériser la déformation d'un objet déformé par un régime en cisaillement pur ou en cisaillement simple. Les équations de la déformation linéaire comparent la dimension initiale d'un objet non-déformé à sa dimension finale (figure 6). Pour une droite contenue dans un objet déformé d'une longueur initial li , les équations tiendront compte de la longueur finale de la droite à l'état déformé final lf. Les paramètres de la déformation linéaire sont:


    Figure 6: Paramètres de la déformation pour des régimes de déformation en cisaillement pur et en cisaillement simple.


    Le rapport entre les axes d'allongement maximal et minimal nous fournit un autre indice du taux de déformation, appelé "ellipticité" référant à la forme plus ou moins elliptique du cercle initial déformé.
    Les paramètres de la déformation angulaire tiendront compte du changement d'orientation d'une droite contenu dans un objet déformé. Ce changement d'orientation est mesuré par la déviation angulaire d'une droite de son état initial à son état déformé final (figure 6). Deux paramètres caractérisent la déformation angulaire, soit le cisaillement angulaire ψ et la déformation cisaillante γ = tgψ.

    2.2.4 L'ellipsoïde de la déformation et le diagramme de Mohr

    Mohr (1882) réalisa qu'en transposons les équations de la déformation sous la forme des équations d'un cercle, il était possible de représenter graphiquement les paramètres d'un objet déformé. Pour ce faire, l'on doit utiliser l'élongation quadratique ( λ' = 1/λ = 1/S2) pour la déformation linéaire ainsi qu'une valeur modifiée de la déformation angulaire (γ' = γ/λ = 1/2(1/λ2 - 1/λ1) 2sinθ) (référez-vous aux pages 68 à 70 du volume de Davis et Reynolds (1996) pour une description plus détaillée de ces équations fondamentales).

    La figure 7 ci-dessous met en relation les paramètres de la déformation pour une ligne déformée et la représentation graphique de cet état de déformation sur un diagramme de Mohr. Les données quantitatives de l'état de déformation de la ligne a' sont calculées tout simplement en:

    1) déterminant la déformation linéaire de la ligne, soit l'étirement (S = lf /li) et en transposant cette valeur en élongation quadratique réciproque (λ') et,

    2) déterminant la valeur θ', soit l'angle entre cette ligne déformée et l'axe d'extension maximal (S1) donné par la trace de la foliation (clivage ou schistosité) sur l'affleurement. Ces deux valeurs peuvent ensuite être portées sur un diagramme de Mohr avec en abscisse la valeur de la déformation linéaire (λ') et en ordonnée la valeur de la déformation angulaire (γ' ou γ/λ) tel que représenté à la figure 7. Le cercle de Mohr ne pourra être construit que si les valeurs de déformation linéaire et angulaire ont été déterminé pour 3 fossiles et plus. Les trois points projetés dans le diagramme permettront de tracer le cercle de Mohr et ainsi retrouver les valeurs λ'1 (S1) et λ'2 (S2) pour l'ensemble de l'affleurement et de connaître l'orientation des axes de déformation maximal et minimal.

    Figure 7: Objet linéaire déformé représenté graphiquement par l'ellipse de la déformation et par le diagramme de Mohr .


    Les équations du cercle de Mohr s'expriment sous la même forme que les équations d'un cercle dont le diamètre du cercle (x2-x1) est donné par (λ'1 - λ'2), le rayon du cercle (r) par (λ'1 - λ'2)/2, et l'origine du cercle (c) par ( λ'1 + λ'2)/2.

    Les équations de la déformation peuvent être dérivées ainsi:
    et où:


    Passez maintenant aux Exercices pratiques sur la Théorie de la déformation


    2.3 La quantification de la déformation

    Il est possible de quantifier la déformation à partir de certains marqueurs géologiques en autant que l'on connaisse la forme initiale du marqueur en question. Le taux de déformation est obtenu en comparant la forme de l'objet déformé à sa forme initiale. Certains objets géologiques sont d'excellents marqueurs de la déformation comme les objets sphériques (oolithes, foraminifères, taches d'oxydo-réduction, cavités gazeuses dans les laves), les objets allongés (tiges de belemnite, minéraux aciculaires), les fossiles à symétrie bilatérale ou radiale (brachiopodes, trilobites, graptolites, crinoïdes, coraux) et les objets elliptiques (cailloux de conglomérats, enclaves dans une intrusive, coussins dans une coulée basaltique).

    Consultez la rubrique Répertoire des photos du module 2 pour des exemples d'objets géologiques déformés qui peuvent être utilisés pour quantifier la déformation.
    Objets allongés: minéraux aciculaires (Figures 6.13A et B).
    Objets sphériques: taches d'oxydo-réduction (Figures 10.9A et B), oolithes (Figures 2 et 7).
    Fossiles: traces fossiles (figures 5.1, 5.2, 8.16A etB), coraux (Figures 7.3, 8.14A), crinoïdes (Figure 8.16B).
    Objets elliptiques: cailloux de conglomérats (Figures 7.1, 7.2 et 11.16), enclaves dans une intrusive (Figure 5.9).

    Tous ces objets ont la particularité d'être plus compétents que la matrice qui les contient. Par conséquent, lorsque soumis à un état de contrainte donné, les objets allongés subiront une rotation passive rigide vers la direction d'extension maximale (S1). Avec l'augmentation de la déformation, les objets allongés se boudineront et se fractureront (seulement lorsqu'ils auront atteint le champ d'allongement de l'ellipse de la déformation) et les objets circulaires deviendront elliptiques. Les objets rigides et compétents ne se fractureront pas nécessairement dès les premiers instants de la déformation progressive, mais plutôt lorsque les contraintes exercées dépasseront la limite de rupture de l'objet en question.

    À l'aide de ces marqueurs de la déformation, il est possible de calculer la quantité de déformation subie par l'objet en mesurant le changement de longueur de l'objet étiré et boudiné et en le comparant à son l'état initial non déformé. On utilisera comme mesure de la déformation finie les rapports d'extension (e), d'étirement (S) ou d'élongation quadratique (λ) ainsi que les valeurs de déformation angulaire données par le cisaillement angulaire (ψ) et la déformation cisaillante (γ). En connaissant les paramètres de déformation linéaire et angulaire pour quelques objets déformés dans un même volume rocheux, il sera possible de reconstruire l'ellipse de la déformation et du même coup, utiliser l'ellipticité (R) comme mesure du taux de déformation pour ce volume rocheux.

    2.3.1 Les objets allongés

    À partir d'un seul objet de forme allongé sur un affleurement, il est possible de calculer la déformation linéaire subie par cet objet. Il s'agit tout simplement de mesurer la longueur initiale de l'objet (li) et de comparer cette valeur à la longueur totale déformée de l'objet (lf). On pourra ainsi calculer les différents paramètres de la déformation linéaire (e, S et λ) selon les équations présentées plus haut.

    Prenons comme exemple le fossile de forme allongée (belmnite), déformé et fracturé de la figure 8. Les espaces entre les segments de cet objet ont été comblés par des minéraux fibreux dont l'axe d'allongement parallélise la direction d'étirement maximale de la roche déformée (la direction d'étirement maximale est aussi donnée par la trace du clivage sur la surface de l'affleurement). Pour calculer la déformation linéaire du belemnite, il s'agit tout simplement de mesurer la longueur initiale du fossile en obtenant la somme de tous les segments boudinés (li) et de comparer cette valeur à la longueur totale déformée du fossile étiré (lf).

    Figure 8: Croquis d'un affleurement contenant un fossile de forme allongée (belemnite) étiré et boudiné.


    La présence de plusieurs objets allongés dans un même échantillon ou sur un même affleurement nous permettra non seulement de calculer l'étirement pour chaque fossile, qui représente en fait la déformation selon plusieurs directions dans un volume rocheux, mais aussi de calculer la forme de l'ellipse finale pour tout l'affleurement. Il s'agira alors de calculer la déformation linéaire pour chacun des objets étirés et de déterminer l'angle θ entre chacun des objets et l'axe d'étirement maximal. L'ellipse de la déformation sera construite en plaçant les données obtenues pour chaque objet sur un graphique S1 vs S3 (figure 9).

    Figure 9


    2.3.2 Les fossiles déformés

    La symétrie bilatérale de certains fossiles est une caractéristique fort utile pour quantifier la déformation. L'on sait par exemple que l'angle entre la charnière et la ligne médiane chez les brachiopodes est de 90 degrés. Il est donc possible de quantifier la déformation en comparant cet angle chez le fossile déformé (état final) au même angle sur le fossile non déformé (état initial). Plusieurs méthodes ont été conçues pour quantifier la déformation à l'aide des fossiles déformés. La méthode de Wellman (1962), nécessite plus de six fossiles tandis que la méthode de Ramsay (1967) peut être utilisée avec aussi peu que trois fossiles.

    La méthode de Wellman.

    Cette méthode permet, à l'aide d'un minimum de six fossiles déformés, de retracer l'ellipse de la déformation qui représente le taux de déformation enregistré par les fossiles. Pour un fossile à symétrie bilatérale non déformé, comme par exemple des brachiopodes illustrés à la figure10, la charnière et la médiane sont orientées à 90 degrés l'une de l'autre (figure 10a). Par contre, suite à une déformation, cette relation angulaire entre la médiane et la charnière n'est plus respectée (figure 10b).

    Figure 10: (a) brachiopodes non déformés et cercle correspondant, (b) brachiopodes déformés et ellipse représentant l'état de la déformation finie.


    Dans le cas des fossiles non déformés, il est possible de représenter graphiquement l'état non déformé par un cercle à rayon unitaire tracé à partir de segments jointifs parallèles aux directions de symétrie principales des brachiopodes. Pour obtenir ce cercle, il s'agira de tracer un segment sur une feuille de papier (OP sur la figure 10a) à partir des extrémités desquelles on projettera des parallèles aux médianes et charnières pour chacun des fossiles choisis de façon à construire plusieurs parallélogrammes. Le cercle dessiné en reliant tous les sommets des parallélogrammes obtenus pour chaque fossile représente l'état de déformation nul de la roche.

    Pour un fossile déformé, les lignes originalement perpendiculaires dans l'état non déformé, ici les médianes et charnières de brachiopodes, seront réorientées dans l'espace. Il sera alors possible de représenter graphiquement l'état déformé des fossiles par une ellipse dont l'ellipticité correspondra au taux de déformation. Encore une fois, l'angle entre les lignes médiane et charnière nous permettra de reconstruire l'ellipse. Tout comme pour la méthode utilisée à la figure 10a, on tracera des parallèles à la ligne médiane et à la charnière pour chacun des fossiles choisis (figure 10b). On projettera ensuite les lignes médiane et charnière de chaque fossile à partir des extrémités d'un segment de façon à construire plusieurs parallélogrammes. L'ellipse de la déformation finie sera dessinée en reliant les sommets des parallélogrammes obtenus pour chaque fossile.

    La méthode de Ramsay.

    Dans certains cas, le nombre limité de fossiles déformés sur l'échantillon ne nous permet pas d'utiliser la méthode de Wellman. La méthode de Ramsay quant à elle, offre l'avantage d'être utilisée avec aussi peu que trois fossiles. Cette méthode est basée sur les équations du cercle de Mohr. À l'aide de la méthode de Ramsay, il est possible de déterminer les paramètres S1 et S3 de l'ellipse de la déformation en connaissant la déformation linéaire et le cisaillement angulaire d'au minimum trois fossiles déformés.

    Prenons comme exemple trois fossiles déformés (figure 11). Pour chaque fossile, il s'agit de trouver la valeur du cisaillement angulaire (ψ) et l'angle entre les charnières des fossiles duquel on pourra déduire les valeurs θ. Le cisaillement angulaire représente l'écart par rapport à l'angle initial entre la charnière et la ligne médiane (90degrés à l'état initial) (ψ sera positif pour un cisaillement dextre et négatif pour un cisaillement senestre voir Fig. 2.49 dans Davis et Reynolds, p. 75). Ces données sont ensuite portées sur un diagramme de Mohr en prenant λ' et γ' comme axe horizontal et vertical.

    Figure 11: Diagramme de Mohr de trois brachiopodes déformés.


    Sur le diagramme, chaque fossile est représenté par une droite passant par l'origine et orientées à ψa, ψb et ψc par rapport à λ'. À l'intérieur du cercle de Mohr, trois segments représentent les fossiles déformés. Les segments auront comme point d'origine commun l'origine du cercle et l'angle entre ces segments des trois fossiles correspondra à deux fois la valeur de l'angle mesurée entre les charnières des fossiles (2θ'ab, 2θ'bc, 2θ'ac). Le diagramme ainsi construit permet de déterminer λ'1 et λ'2, S et S2, de calculer R et de déterminer l'orientation de l'ellipse de la déformation sur l'échantillon prélevé.

    Passez maintenant aux Exercices pratiques sur la Quantification de la déformation


    2.4 L'analyse dynamique - Notions de force et de contrainte (stress)
    Un corps rocheux qui est soumis à des forces sera dit en état de contrainte. En dynamique, tout changement dans l'état d'un objet ou son déplacement résulte d'une force. La translation, la rotation, la distortion et la dilatation d'un objet sont des réponses de cet objet aux contraintes externes.

    On distingue les forces de volume qui agissent sur tout le volume d'un objet, des forces de surface qui agissent uniquement sur les surfaces limitant le volume de cet objet. La force d'Archimède (Fa) du manteau agissant verticalement et poussant vers le haut la croûte continentale est un bel exemple de force de volume. D'autre part, la force de pesanteur de la croûte (Fp), c'est-à-dire le produit de la base, de l'épaisseur, de la densité et de l'accélération (g) de la croûte continentale, agira verticalement en poussant la croûte continentale vers le bas. La croûte continentale sera donc en équilibre hydrostatique sur le manteau si Fa = Fp.

    La contrainte (σ) correspond à une force agissant sur une unité de surface (σ = F/S). Pour une même force, plus la surface sur laquelle elle est exercée est petite, plus la contrainte développée est grande. C'est pourquoi il est prudent de se coucher à plat ventre en entendant la glace craquer et se fracturer sous nous pieds en se promenant sur un lac gelé en hiver et de poursuivre notre balade en rampant jusqu'à la rive la plus proche! C'est également pour ça qu'un caillou minuscule projeté sur un pare-brise peut causer autant de dommages!

    2.4.1 Contrainte normale et tangentielle
    2.4.2 L'ellipsoïde des contraintes
    2.4.3 La contrainte et le diagramme de Mohr


    LIENS INTÉRESSANTS

    En plus des chapitres 2 et 3 du volume de référence Davis and Reynolds (1996), vous trouverez une excellente description des notions de contrainte et déformation sur le site internet intitulé: Visualizing Stress and Strain: Using Visual Basic 6.0 to Provide a Dynamic Learning Environment, de Nathaniel E. Reish et Dr. Gary H. Girty, San Diego State University Department of Geological Sciences.

    Cliquez sur ce lien pour y accéder:
    Visualizing Stress and Strain
    Le site internet du Professeur Rod Holcombe, School of Physical Sciences - Earth Sciences, University of Queesland, Australia, contient une librairie d'animations de notions spécifiques à la théorie de la déformation et les zones de cisaillement.

    Cliquez sur le lien suivant pour y accéder:
    ROD HOLCOMBE Structural Geology Animation Library